La estadística inferencial es la rama de la estadística que extrae conclusiones sobre una población a partir de una muestra y mide, mediante la probabilidad, cuánto pueden equivocarse.

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De la parte al todo: razonar bajo incertidumbre

La estadística inferencial es la rama de la estadística que, apoyándose en la teoría de la probabilidad y en el estudio descriptivo previo de los datos de una muestra, efectúa estimaciones, predicciones y otras generalizaciones sobre un conjunto mayor: la población de partida. Su fin es conocer las características de esa población a partir de la información que proporciona una parte de ella. En la mayoría de los casos, el fenómeno estudiado no puede observarse de forma exhaustiva —sería demasiado caro, demasiado lento o simplemente imposible—, de modo que se observa de forma parcial a través de una muestra, y la inferencia extrae de esa observación parcial conclusiones sobre el todo.

Por eso se la llama también estadística inductiva: comparte con el método inductivo el movimiento de lo particular a lo general y, con él, el riesgo de equivocarse. Lo que la distingue es que ese riesgo se mide. Una conclusión inferencial nunca se presenta como cierta, sino acompañada de un margen de error, un nivel de confianza o una probabilidad. La diferencia con la estadística descriptiva no es, como a veces se dice, que una mire al presente y otra al futuro, sino de alcance: la descriptiva resume los datos que tiene delante; la inferencial generaliza más allá de ellos y cuantifica cuánto puede fallar al hacerlo.

Población, parámetro y estadístico

La inferencia trabaja con tres conceptos. La población es el conjunto completo de unidades sobre el que se quiere concluir: todos los hogares de un país, todas las piezas de un lote, todos los pacientes con una enfermedad. Un parámetro poblacional es un valor numérico que resume un atributo de esa población, como la renta media de los hogares o la proporción de piezas defectuosas; se calcula sobre la población entera y, por tanto, casi nunca se conoce. Un estadístico es el valor equivalente calculado sobre la muestra. Cuando un estadístico se usa para aproximar un parámetro desconocido, recibe el nombre de estimador. La notación refleja la distinción: las letras griegas (μ para la media, σ para la desviación estándar) designan parámetros, y las latinas (x̄, s), estadísticos.

La distribución muestral

La idea central de la inferencia es que un estadístico varía de una muestra a otra. Si se extrajeran muchas muestras de la misma población, cada una daría una media ligeramente distinta y el conjunto de esas medias formaría una distribución: la distribución muestral. Su dispersión, el error típico, indica cuánto cabe esperar que el estimador se aleje del parámetro y disminuye a medida que crece la muestra. El teorema central del límite, formulado por Pierre-Simon Laplace a comienzos del siglo XIX y demostrado con generalidad por Aleksandr Lyapunov en 1901, establece que, con muestras suficientemente grandes, esa distribución se aproxima a una normal casi con independencia de cómo se distribuyan los datos originales. Esa propiedad es la que permite calcular márgenes de error con una sola muestra.

Todo el edificio descansa en un supuesto: que la muestra se haya seleccionado al azar. Si no es así, la probabilidad no puede medir la distancia entre la muestra y la población, y ningún cálculo corrige el sesgo de selección.

Tipos de inferencia

La inferencia adopta dos formas principales, la estimación y el contraste de hipótesis, y se apoya en técnicas que varían según los supuestos que se hagan sobre los datos y según la interpretación de la probabilidad que se adopte.

Estimación puntual

Consiste en asignar al parámetro desconocido un único valor calculado a partir de la muestra: la media muestral como estimación de la media poblacional o la proporción de votantes de una encuesta como estimación de la del electorado. No todos los estimadores son igual de buenos: uno adecuado es insesgado, porque en promedio coincide con el parámetro; eficiente, porque tiene la menor varianza posible, y consistente, porque se acerca al parámetro a medida que aumenta la muestra. Ronald Fisher sistematizó buena parte de estos criterios en 1922, en el mismo trabajo en el que propuso el método de máxima verosimilitud, que elige el valor del parámetro que hace más probables los datos observados.

Estimación por intervalos

Una estimación puntual no dice nada sobre su precisión. Por eso suele acompañarse de un intervalo de confianza, un rango de valores que, con un nivel de confianza determinado, contiene el parámetro. Jerzy Neyman formalizó el concepto en 1937. Su interpretación es sutil: un intervalo al 95 % no significa que haya un 95 % de probabilidad de que el parámetro esté dentro, sino que el procedimiento acierta en el 95 % de las muestras posibles.

Contraste de hipótesis

El contraste de hipótesis evalúa si los datos son compatibles con una afirmación sobre la población. Se formula una hipótesis nula, normalmente la ausencia de efecto, y una alternativa, y se calcula la probabilidad de obtener resultados como los observados si la nula fuera cierta: el valor p. El procedimiento admite dos errores: rechazar una hipótesis nula verdadera (error de tipo I) y no rechazar una falsa (error de tipo II).

Análisis de varianza

El análisis de varianza (ANOVA, por analysis of variance) compara las medias de tres o más grupos para determinar si sus diferencias son mayores de lo que cabría esperar por azar. Su lógica consiste en descomponer la variabilidad total de los datos en dos partes: la que existe entre los grupos y la que existe dentro de cada uno. Si la primera es mucho mayor que la segunda, el cociente entre ambas, el estadístico F, indica que los grupos difieren. Fisher lo desarrolló en la estación agrícola de Rothamsted para analizar ensayos de cultivos. Su uso exige que los datos de cada grupo sean aproximadamente normales, con varianzas similares y observaciones independientes. Es la herramienta clásica para analizar un experimento con varios tratamientos.

Inferencia paramétrica y no paramétrica

Las técnicas paramétricas suponen que los datos siguen una distribución conocida, casi siempre la normal, y estiman sus parámetros. Las no paramétricas renuncian a ese supuesto y trabajan con rangos u órdenes: la prueba de Wilcoxon (1945), la de Mann-Whitney (1947) o la de Kruskal-Wallis (1952), equivalente no paramétrico del ANOVA. Son menos potentes cuando los supuestos se cumplen, pero más fiables cuando no.

Inferencia frecuentista y bayesiana

Todo lo anterior pertenece a la tradición frecuentista, que interpreta la probabilidad como la frecuencia de un resultado en repeticiones imaginarias del mismo procedimiento. La inferencia bayesiana parte de otra idea: la probabilidad expresa un grado de creencia que se actualiza con los datos mediante el teorema de Bayes. En lugar de un intervalo de confianza ofrece un intervalo de credibilidad, que sí puede leerse como la probabilidad de que el parámetro esté en un rango, a cambio de explicitar una distribución previa. En ambos casos, la inferencia estadística no equivale a la inferencia causal: generalizar una asociación de la muestra a la población no demuestra que una variable cause la otra.

Ejemplos y casos

La inferencia estadística está detrás de decisiones agrícolas, médicas, industriales o de política pública.

En 1919, la estación experimental agrícola de Rothamsted, en Inglaterra, contrató a Ronald Fisher para analizar décadas de datos de sus ensayos de cultivo. En 1921 publicó el análisis de 67 años de cosechas de trigo de la parcela de Broadbalk, en el que separó la variación debida a los abonos, al clima y a la tendencia del suelo. De ese trabajo y de los ensayos que diseñó después surgieron el análisis de varianza, la aleatorización de las parcelas y buena parte de la teoría del diseño de experimentos.

Fuente: Rothamsted Research, Fisher, «Studies in crop variation I» (1921).

En 1954, Estados Unidos probó la vacuna de Jonas Salk en el mayor ensayo de campo de su época, con cerca de 1,8 millones de niños. En la parte aleatorizada y con placebo, unos 200.000 niños recibieron la vacuna y otros tantos una inyección sin principio activo. Se registraron 33 casos de poliomielitis paralítica entre los vacunados y 115 entre quienes recibieron placebo: unas tasas de 16 y 57 casos por cada 100.000. La diferencia era demasiado grande para atribuirla al azar y la vacuna se aprobó en 1955.

Fuente: Random Services, «The Salk Vaccine Field Trial», a partir de Francis y otros (1955).

La Encuesta de Población Activa (EPA) del INE estima cada trimestre el número de personas paradas en España a partir de una muestra de unas 65.000 viviendas. Como es una estimación, el INE publica sus errores de muestreo: en 2022, el coeficiente de variación del total de parados rondó el 1,7 %, pero en subgrupos pequeños, como las mujeres paradas en la construcción, superó el 30 %. Por eso las variaciones trimestrales pequeñas o las cifras de colectivos muy específicos deben leerse con cautela.

Fuente: INE, «Evaluación de la calidad de la EPA. Año 2022».

Tras dos años de búsqueda infructuosa del avión de Air France desaparecido en el Atlántico en 2009, la oficina francesa de investigación de accidentes encargó a la empresa Metron un análisis bayesiano. El equipo combinó en una distribución previa toda la información sobre el lugar del accidente y la actualizó con los resultados negativos de las búsquedas anteriores. La distribución posterior señaló como más probables zonas poco exploradas. Los restos aparecieron tras una semana de búsqueda submarina en 2011.

Fuente: Stone, Keller, Kratzke y Strumpfer, «Search for the Wreckage of Air France Flight AF 447», Statistical Science, 2014.

Recursos relacionados

  • Regresión lineal: Entrada del glosario sobre el modelo que estima la relación entre variables y contrasta la significación de sus coeficientes.
  • Econometría: Entrada del glosario sobre la aplicación de la inferencia estadística a los datos económicos.
  • RStudio: Ficha de la Biblioteca sobre el entorno de trabajo con R, que permite estimar modelos y realizar contrastes.
  • Stata: Ficha de la Biblioteca sobre un programa de análisis estadístico y econométrico muy extendido en ciencias sociales.
  • IBM SPSS: Ficha de la Biblioteca sobre un programa de análisis estadístico con contrastes paramétricos, no paramétricos y ANOVA.
  • statsmodels (Python): Ficha de la Biblioteca sobre una librería de Python para estimar modelos y realizar contrastes estadísticos.

Bibliografía recomendada

  • Fundamentos de estadística (Daniel Peña, 2008): Manual de referencia en español que construye la inferencia a partir del modelo probabilístico, con ejemplos y ejercicios resueltos. Adecuado para un primer curso riguroso; está descatalogado, pero es fácil de encontrar en bibliotecas.
  • All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference (Larry Wasserman, 2004): Recorrido compacto y riguroso por la inferencia clásica, la no paramétrica y la bayesiana. Pensado para quien tiene base matemática y quiere una visión de conjunto.
  • Statistical Rethinking: A Bayesian Course with Examples in R and Stan (Richard McElreath, 2020): Introducción a la inferencia bayesiana centrada en el razonamiento más que en las fórmulas, con ejemplos en R. La primera edición es de 2015.