estadística

La estadística es una ciencia formal que estudia conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en las leyes de la probabilidad.

Podemos entender la estadística como la rama de las matemáticas que se encarga de recolectar, organizar, analizar e interpretar datos para extraer conclusiones válidas y tomar decisiones informadas bajo condiciones de incertidumbre.

Procedimientos

Los tres pasos típicos del análisis estadístico son:

1. recolección de datos
2. descripción y visualización de datos
3. obtención de conclusiones

La transición de la estadística de una herramienta de registro a una ciencia de decisión se basó en un intenso debate intelectual entre dos escuelas de pensamiento. Lo que hoy estudiamos en los libros de texto como un sistema unificado es, en realidad, un «híbrido» de dos visiones enfrentadas.

El enfoque inductivo

Para Ronald Fisher, el objetivo de la estadística era la inferencia: descubrir si los datos de un experimento aportaban evidencia suficiente para rechazar una idea.

Fisher introdujo la idea de que debemos trabajar bajo la suposición de que «no hay efecto» (por ejemplo, que una medicina no funciona); es lo que se conoce como hipótesis nula (H0). Su gran invento fue el valor p (p-value), empleado para evaluar la probabilidad de obtener los resultados observados si la H0​ fuera cierta; si el $p$-value es muy bajo (típicamente $<0.05$), Fisher decía que el resultado era «significativo».

Para él, la estadística era una herramienta para los investigadores individuales que buscaban la verdad en sus laboratorios.

El enfoque deductivo

Jerzy Neyman y Egon Pearson criticaron a Fisher por ser poco riguroso. Ellos no buscaban «la verdad», sino establecer reglas de comportamiento para minimizar errores a largo plazo.

Neyman y Pearson introdujeron la distinción de dos errores que hoy es estándar:

• Error tipo I ($\alpha$): Rechazar la H0​ cuando es verdadera (un falso positivo).
• Error tipo II ($\beta$): No rechazar la H0​ cuando es falsa (un falso negativo).

A diferencia de Fisher, ellos consideraban que no podemos rechazar una idea sin tener otra alternativa contra la cual comparar; es decir, debemos contar con una hipótesis alternativa (H1). En su planteamiento, el poder estadístico es un concepto clave para determinar el tamaño que debe tener una muestra para que permita detectar un efecto real.

La síntesis

Lo que usamos hoy en día en las ciencias modernas es una mezcla de ambos enfoques, a menudo llamada NHST (null hypothesis significance testing).

El salto a la inferencia (finales del s. XIX)

La estadística moderna nace cuando dejamos de «describir lo que pasó» y empezamos a «estimar lo que no vemos».

Francis Galton y la regresión

Primo de Darwin, Galton quería medir la herencia. Al estudiar la altura de padres e hijos, descubrió que los extremos tienden a volver al promedio. Inventó el concepto de regresión y correlación, las herramientas básicas para entender relaciones entre variables hoy en día.

Karl Pearson

Fue quien sistematizó la disciplina. Creó el Laboratorio Biométrico en Londres y desarrolló la prueba de chi-cuadrado (χ2), que permite saber si los datos observados se ajustan a una teoría o son fruto del azar.

La revolución de las muestras pequeñas (1900-1920)

Antes de este punto, se creía que para que la estadística fuera válida hacían falta miles de datos.

William Sealy Gosset («Student»)

Trabajaba para la cervecera Guinness. Como no podía desperdiciar miles de barriles para hacer pruebas de calidad, desarrolló la distribución t de Student. Esto permitió hacer inferencias válidas con muestras muy pequeñas (de 10 o 20 unidades), algo vital para la medicina y la industria moderna.

La «edad de oro» y el diseño experimental (1920-1950)

En este periodo, la estadística se convierte en el lenguaje universal de la ciencia gracias a una figura dominante.

Ronald A. Fisher

Es considerado el arquitecto de la estadística moderna. En su libro Statistical Methods for Research Workers, introdujo:

• El análisis de varianza (ANOVA): Para comparar múltiples grupos a la vez.
• La aleatorización: La idea de que, en un experimento (como probar un fármaco), los sujetos deben asignarse al azar para evitar sesgos.
• El valor p ($p$-value): La medida estándar para decidir si un resultado científico es «significativo».

La consolidación matemática y el teorema del límite central

Durante mediados del siglo XX, matemáticos como Jerzy Neyman o Egon Pearson (hijo de Karl) refinaron las teorías de Fisher, creando el sistema de contraste de hipótesis: la idea de la hipótesis nula (H0​) frente a la hipótesis alternativa (H1​).

La era informática y bayesiana (1970-actualidad)

La estadística moderna dio un último giro radical con la potencia de cálculo.

Bradley Efron y el bootstrap

En 1979 introdujo métodos de «remuestreo» que permiten hacer estadística compleja mediante simulaciones por ordenador, sin necesidad de fórmulas matemáticas teóricas pesadas.

El resurgimiento bayesiano

Aunque Thomas Bayes vivió en el s. XVIII, su enfoque (que permite actualizar probabilidades a medida que llega nueva información) solo se volvió práctico con los ordenadores modernos. Es la base de los filtros de spam y los algoritmos de inteligencia artificial.

Rama de la estadística cuyo objetivo es estructurar un conjunto de datos para revelar cómo se comporta la muestra estadística en un momento determinado.

La estadística descriptiva se dedica básicamente a la recogida, resumen y caracterización de los datos que se obtienen cuando se observa un determinado fenómeno de masa, aportando un conjunto de indicadores que sintetizan o resumen lo más relevante en relación a dicho fenómeno.¹

La principal diferencia respecto a la estadística inferencial es que se enfoca en el tiempo presente.

Modalidad de la disciplina estadística que utiliza el cálculo de probabilidades para realizar estimaciones sobre el posible comportamiento futuro de un fenómeno.

Es la rama de la estadística que, apoyándose en la teoría de la probabilidad y a partir del estudio descriptivo previo de datos muestrales, efectúa estimaciones, predicciones y otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos (la población de partida). Su fin es, pues, estimar las características de la población a partir de la información que proporciona una muestra.²

A diferencia de la estadística descriptiva, su foco está puesto en el futuro y por eso se la conoce también  como estadística inductiva.

La inferencia estadística pretende llegar a conclusiones acerca del comportamiento del fenómeno objeto de estudio, pero en un sentido amplio. En la mayoría de los casos, dicho fenómeno no podrá observarse de forma exhaustiva, por lo que tendremos que observarlo de forma parcial a través de una muestra. Aquí es cuando aparece la inferencia estadística, pues pretenderá extraer conclusiones sobre la población a partir de dicha observación parcial o muestral.³

Las principales modalidades de estadística inferencial son la prueba de hipótesis y la estimación estadística.

Las medidas estadísticas se dividen principalmente en cuatro grandes categorías según el aspecto de la distribución de datos que resumen o describen.

Buscan el centro, promedio o valor más representativo de un conjunto de datos.

Media

El promedio estándar. El cálculo de la media se obtiene sumando todos los valores de los datos recogidos, ya sea de una población estadística o de una muestra estadística, y dividiendo el total por el número de observaciones o valores. La dispersión de los valores respecto a la media estadística es lo que se conoce como desviación estándar o desviación típica.

A la media aritmética «se la conoce también como el centro de gravedad de la distribución, porque geométricamente se sitúa en la posición más cercana a todas las observaciones consideradas globalmente. Es como si todas las observaciones orbitaran en torno a la media aritmética.»⁴

El tipo de media dependerá del criterio aplicado.

Según la base de cálculo:

• media poblacional: El valor de la media aritmética calculado sobre la población estadística. Se representa con el símbolo μ.
• media muestral: valor de la media aritmética que se calcula con base en una muestra estadística. Se representa con el símbolo estadístico X̅.

Según la forma de calcularla:

• media aritmética simple: Resultado numérico de la división de la suma de todos los valores observados de una determinada variable por su número (N). La media aritmética es un valor de la variable y, como tal, se expresa en la misma unidad de medida que X. No tiene por qué coincidir con ninguno de los valores observados pero siempre está localizada dentro del recorrido de la variable, es decir, no puede ser inferior al menor valor observado ni superior al mayor.⁵
• media aritmética ponderada: Se utiliza para calcular un promedio cuando no todos los valores tienen la misma importancia o peso. Es el resultado de multiplicar cada valor por su peso correspondiente, sumar todos esos productos y luego dividir esa suma entre la suma de los pesos. Hay distribuciones en las que todos los valores de la variable no tienen la misma importancia relativa. En estas circunstancias, la media aritmética simple no es un promedio suficientemente representativo de la distribución y se hace necesario calcular la media aritmética ponderada.⁶

Mediana

Valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. La mediana es un cuantil que se corresponde con el segundo cuartil y nos permite obtener el rango intercuartílico. Únicamente puede ser calculada para datos numéricos.

Para buscar la mediana, primero ordenaremos de menor a mayor todos los valores y luego aplicaremos la siguiente fórmula:

(n + 1) / 2

El símbolo estadístico n representa el número total de observaciones de la variable.

Veamos un ejemplo concreto. Tenemos 15 cifras (u observaciones), que podrían ser las respectivas edades de 15 personas que participan en un curso de formación para adultos, donde puede presentarse un rango de edades bastante amplio. Las edades son: 34, 17, 65, 40, 64, 23, 24, 28, 39, 67, 19, 51, 53, 67, 46 años. Primero ordenaremos las cifras de menor a mayor, así que quedarán así: 17, 19, 23, 24, 28, 34, 39, 40, 46, 51, 53, 64, 65, 67, 67. Como tenemos pocas cifras, podríamos encontrar la mediana sólo contando: será aquella cifra que esté en el centro de la lista, rodeada de 7 cifras a la izquierda y 7 cifras a la derecha (ya que el número total de observaciones es 15). Es decir, la mediana es 40. Sólo por comparar, si en lugar de la mediana calculáramos el promedio o media aritmética, el resultado sería diferente (42,47).

Moda

Valor que aparece con mayor frecuencia en un cierto conjunto de datos. Puede emplearse para describir tanto datos numéricos como datos categóricos.

Las medidas de dispersión indican cuán alejados o agrupados están los datos respecto a los valores centrales.

La dispersión estadística corresponde al grado en que una distribución de datos numéricos se aleja o se acerca a un estadístico central como podría ser, por ejemplo, la media aritmética.

Rango o amplitud

La diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo.

El rango intercuartil corresponde a la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1). El rango intercuartil o rango intercuartílico es una medida de la dispersión estadística. Se representa con la sigla IQR por su nombre en inglés (interquartile range).

Varianza

Promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media; mide la variabilidad global.

Desviación estándar

La raíz cuadrada de la varianza; expresa la dispersión en las mismas unidades originales que los datos.

Coeficiente de variación

Expresa la desviación estándar como porcentaje de la media, útil para comparar la variabilidad entre distintas variables o poblaciones.

Dividen un conjunto ordenado de datos en partes iguales para identificar la ubicación relativa de una observación.

Cuartil ($Q$)

Divide la distribución en 4 partes iguales (25%, 50%, 75%).

Decil ($D$)

Divide la distribución en 10 partes iguales.

Percentil ($P$)

Divide la distribución en 100 partes iguales (por ejemplo, el percentil 90 superpone al 90% de los datos).

Describen la geometría o silueta de la curva de distribución de los datos.

Coeficiente de asimetría (skewness)

Evalúa si la distribución se inclina más hacia la derecha (asimetría positiva) o hacia la izquierda (asimetría negativa).

Curtosis (apuntamiento)

Mide la concentración de datos en la zona central y el grosor de las colas en comparación con una distribución normal (leptocúrtica, mesocúrtica o platicúrtica).

Gamero Buron, C. (2023). Estadística I: Elementos de estadística descriptiva y de teoría de la probabilídad. UMA Editorial.

Garcia Ordaz, F., García del Hoyo, J. J. y González Galán, M. D. (2020). Estadística y métodos cuantitativos I. Universidad de Huelva.